江苏省苏州中学2010届高三年级阶段测试二
高三数学
本试卷分A,B两部分,文科只做A部分,满分160分,考试时间120分钟;理科做A,B两部分,满分160分+40分,考试时间150分钟。答案直接做在答案专页上。
A 正题部分（文理必做）
（满分160分，考试用时120分钟）
一、填空题(本大题共有14道小题,每小题5分,计70分)
1．在空间直角坐标系O xyz中，点A(1, 1,2)，点B(2,1,3)，则线段AB长为 2．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是.
3．若直线l1：ax 2y 6 0与直线l2：x (a 1)y a 1 0垂直，则a 4．双曲线5y2 20x2 4的焦点坐标为.
2
5．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝．
6．已知点A( 1, 5)和向量a (2,3)，若AB 3a，则点B的坐标为
7．若方程cos2x＋sin2x＝a＋1在 0, 上有两个不同的实数解x，则实数a的取值范围
2
是 ★ .
8．设命题P:a a，命题Q: 对任何x R，都有x 4ax 1 0. 命题P与Q中有且仅
22
有一个成立，则整数a的值为 ★ .
y x 1
9. 在平面直角坐标系xOy中，平面区域D： ，则能覆盖平面区域D的最小的
y 2x 3
圆的方程为 ★ ．
10．已知F是抛物线C:y2 4x的焦点, P是抛物线C上任意一点，点A(2,1)，则当
PF PA取得最小值时，点P的坐标为
11
．设f(x) x3 log2x，则不等式f(m) f(m 2) 0（m R）成立的充
要条件是 ★ .（注：填写m的取值范围）.
2
12. 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是 ★ .
13．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽
10cm、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、
高分别长20cm、20cm、60cm．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 ★ cm3．
→→14．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则BC·AO ＝ ★ ．
二、解答题(本大题共有6道题,计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （本小题满分14分）
△ABC的三个内角A,B,C的对边边长分别是a,b,c，且满足(1)求角B的值；
（2
）若ba c 5，求a,c的值.
cosBb
. cosC2a c
16. （本小题满分14分）
如图所示，一辆载着重危病人的火车从O地出发，沿射线OA行驶（北偏东 角）,其中tan
1
，在距离O3
地5a km（a为正数）北偏东 角的N处住有一位医学专家，其中sin
3
.现110指挥部紧急征调离O地正东p 5
km的B处的救护车赶往N处载上医学专家全速追赶载有重危病人的火车，并在C处相遇，经测算当辆车行驶路线与OB围成的三角形OBC面积S最小时，抢救最及时. （1）求S关于p的函数关系；
（2）当p为何值时，抢救最及时？
17. （本小题满分15分）
x2y2已知椭圆2 2 1(a b 0)的两准线间距离为6，
离心率e .过椭圆上任意
ab3
一点P，作右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得PH HQ( >0)．F2为该椭圆的右焦点，设点P的坐标为(x0,y0). （1）求椭圆方程；
（2
）求证：PF2
（3）当点P在椭圆上运动时，试探究是否存在实数 ，使得点Q在同一个定圆上，若存
在，求出 的值及定圆方程；否则,请说明理由.
18. （本小题满分15分）
一个公差不为0的等差数列{an}，首项为1，其第1、4、16项分别为正项等比数列{bn}的第1、3、5项.
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）记数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn与Tn,试求正整数m，使得Sm T12； （3）求证：数列{bn}中任意三项都不能构成等差数列.
19. （本小题满分16分）
g(x) 2elnx(x 0)已知函数f(x) x2，（e为自然对数的底数），它们的导数分别为f (x)、g (x).
（1）当x
0时，求证：f (x) g (x)
（2）求F(x) f(x) g(x)(x 0)的单调区间及最小值；
（3）试探究是否存在一次函数y kx b(k,b R)，使得f(x) kx b且g(x) kx b对一切x 0恒成立，若存在，求出该一次函数的表达式；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分16分）
2
已知函数f(x) ax 4x b(a<0,且a,b R).设关于x的不等式f(x) 0的解集为
（x1,x2),且方程f(x) x的两实根为 , .
（1）若 1，求a,b的关系式；
（2）若a,b都是负整数，且 1，求f(x)的解析式； （3）若 1 2，求证：(x1 1)(x2 1) 7.
江苏省苏州中学2010届高三年级阶段测试二
高三数学答案专页
题 号
1- 14
15
16
17
18
19
20
总 分
复核
得 分
批 阅
-5-
一、填空题 1. 5. 9. 12. 二、解答题 15.
2. 6. 10. 13.
3. 7. 11. 14.
4. 8.
-6-
16. 北 C A N
O 第 16 题 B
东
17.
-7-
18.
19.
-8-
20.
-9-
江苏省苏州中学2010届高三年级阶段测试二
高三数学理科附加题(B)
本试卷满分40分，考试时间30分钟.解答直接做在试卷上,请在规定区域内答题．
21. （本小题满分10分）在平面直角坐标系xoy上，动点P到定直线l:x 2与到定点F(1,0)的距离之和为3，求动点P的轨迹方程. 22. （本小题满分10分）已知f(n) 1 求证：100 f(1) f(2) f(3) 23. （本小题满分10分）已知定义在实数集R上的函数f(x)，其导函数为f(x)，满足两个条件：①对任意实数x,y都有f(x y) f(x) f(y) 2xy成立；②f (0) 2.
11 231
，n 1,2,3,n
.
f(99) 100f(100).
（1）求函数的f(x)的表达式；
（2）对任意x1,x2 [ 1,1]，求证：|f(x1) f(x2)| 4|x1 x2|. 24. （本小题满分10分）已知数列 an ，前n项和为Sn，若Sn an n2 3n 1，n N.
（1）求a1,a2,a3,a4；
（2）是否存在常数p,q，使得数列 an pn q 为等比数列，若存在，求出数列 an 的通项公式；若不存在，请说明理由。
2009-2010学年第一学期高三年级阶段测试二
数学参考答案 正题部分（A）
一、填空题
1.
2. 2； 3.
2
； 4. （0，-1），（0，1）； 5. 0； 6.（5，4）； 7. 0≤a＜1；8. 3
1
0； 9.x2 (y 2)2 25； 10. ,1 11. m 1或m 2； 12. 45；13. 78000；
4
14.
25.2
二、解答题 15.解：（1）∵
cosBb
，由正弦定理得 cosC2a c
cosBsinB
，∴cosB(2sinA sinC) sinBcosC 0， cosC2sinA sinC
∴2cosBsinA cosBsinC sinBcosC 0，即2cosBsinA sin(C B) 0. 又∵sinA sin(C B)，sinA 0，∴cosB
2
2
2
2 1
，∴B .…………………7分
32
2
2
（2）依题意，由余弦定理b a c 2accosB得，a c ac 19， 又∵a c 5，解得a 2,c 3或a 3,c 2.……………………………………14分 16.解（1）建立如图所示的直角坐标系，∵
3
ON 5a,sin ，si BON∴n
5
∴N点的坐标为 3a,4a . 又射线OA的方程为y 3x，
43cos BON ，，55
又B(p,0)，∴直线BN的方程为
y 0x p p 3a
4a 03a p
∴y
4a
x p , x 3a .………………………4分
3a p
1272
3a9a a. 22
当p 3a时，C 3a,9a ，S
4ap
x , y 3x, 3p 5a5
当p 3a时，方程组 ，解为 (p a) 4a
3 y 12ap. y 3a p x p 3p 5a
∴点C的坐标为
4ap12ap 5
,p a .
3 3p 5a3p 5a
1112ap6ap25∴S |OB||yc| p (p a).对p 3a也成立.
223p 5a3p 5a36ap25∴S (p a).………………………………………………………8分
3p 5a3
6ap22ap25
(p a). （2）由（1）得S
3p 5ap a3
3
5 2a a t
25a210 40253 令p a t 0，∴S 2a t a a,
3t9t3 3
5a10a10a25a2
Km时，S有最小当且仅当t ,即t ，此时p ，上式取等号，∴当p
3339t
值，即抢救最及时. …………………………………………………………………
14分
2
x2y2
117.解：（1）………………………………………………………4分 32
（2）离心率e
x 3
∴
PF2 e PH 3 x0， PH ………………………………………………………8分 3 x0
∴PF2
(3)设Q的坐标为 x,y ，H 3,y0 ，∴y y0.∵PH HQ 0 ∴3 x0 x 3 ,∴x0 3 3 x
3 3
x 3 3 x y2 x02y02y2 1，∴ 1，即
又∵ 1
332322
2
当且仅当
3
2
2，即
时， 点Q在定圆x 3 2
y2 2上. ……………………………………………15分
18.解：（1）设 an 的公差为d, ∴a4 a1 3d,a16 a1 15d
2又b1 a1,b3 a4,b5 a16,∴b3 bb15
∴ a1 3d a1 a1 15d ,∴9a1d 9d2.∵d 0,a1 d.…………………2分 ∴d 1,an n. ………………………………………………………4分 又 bn 的公比为q, ∴q
2
2
b3a4
4,而bn 0，∴q 0，∴q 2， b1a1
∴bn 2n 1. …………………………………………………………………………6分 (2) ∵Sm
m m 1
,Tn 20 21 22 ... 2n 1 2n 1 2
m m 1
212 1，∴m2 m 8190 0. 由Sm T12，∴
2
∴m 90,m 91(舍)，∴m 90. ……………………………………10分 (3)反证法：假设 bn 中存在三项bi,bj,bk i j k 组成等差数列，∴2bj bi bk ∴2 2∴2
j 1
2i 1 2k 1，（※）∵i j k，j i N,k i N
j i 1
2k i 1.∵2j i 1是偶数，2k i 1是奇数，∴等式（※）不成立. ∴反设不真.
∴ bn 中不存在三项构成等差数列. ………………………………………………15分 19.解：（1）∵x 0，f (x) 2x,g (x) 当且仅当x
2ee
x)2 (x ) 2 ，
∴f (x) g(
xx
e
，即x .
∴f (x) g (x) …………………4分 x
e2(x2 e)
（2）F (x) f (x) g (x) 2(x ) （x 0），
xx
令F (x)
0，得x
，
x ∴当0 x F (x) 0，F(x
)在上单调递减；
当x ∴当x
F (x) 0，F(x
)在 )上单调递增. …………………………8分
F(x
)有极小值，也是最小值，即F(x)min F e 2e 0.
∴F(x
)的单调递增区间为
)，单调递减区间为， 最小值为0. …………………10分
（3）由（2）知，f(x)与g(x
)的图象有且仅有一个公共点e)， ∴猜想：一次函数的图像就是f(x)与g(x
)的图象在点e)处的公切线，
其方程为y e. ………………………………………………………12分 下面证明：当x
0时，f(x)
e，且g(x) e恒成立.
又∵f(x) e) (x2
0，∴f(x) e对x 0恒成立.
又令G(x) e g(x) e
2elnx，∴G (x) ∴当0 x G (x) 0，G(x
)在上单调递减；
当x ∴当x
2ex，
xx
G (x) 0，G(x
)在 )上单调递增.
G(x)有极小值，也是最小值，
即G(x)min G 2e e 2e 0，∴G(x)
0，即g(x) e恒成立.
故存在一次函数y e，使得当x
0时，f(x) e，
且g(x) 2 e恒成立. ……………………………………………………………………………………16分
2
20.解：（1）由f x 得ax 3x b 0，由已知得9 4ab 0， x，
3b
, aa
∴
2
1，∴
2
94b
1. 2aa
∴a 4ab 9,∴a、b的关系式为a 4ab 9. ……………………………………5分 (2)∵a、b是负整数，∴a 1,b 1.
由a 4ab 9得：a 4b a 9，且4b a a.
2
∴a 1,b 2,∴f x x 4x 2. ……………………………………10分
2
(3)令g x ax 3x b，又a 0, 1 2.
2
∴
g 1 0, g 1 a b 3 0,
,即 ……………………………………12分
g(2) 0, g(2) 4a b 6 0,
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