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第十一章算法框图及推理与证明单元能力测试
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．) 1．下列命题正确的是( ) ①(－i)2＝－1； ②i3＝－i；
③若a>b，则a＋i>b＋i； ④若z∈C，则z2>0.
A．①② B．①③ C．②③ D．①②④
2.
某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于( ) A．7 B．15 C．31 D．63
3．下列推理正确的是( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny C．把(ab)n与(x＋y)n类比，则有(x＋y)n＝xn＋yn D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
4．一个同学在电脑中打出如下图形(○表示空心圆，●表示实心圆)○●○○●○○○●○○○○，若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2009个圆中实心圆的个数为( )
A．59 B．60 C．61 D．62
5．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均为xn＋1＝f(xn)，则x2008＝( )
A.1 B．2 C．4 D．5
6．数列{an}，已知a1＝1，当n≥2时an＝an－1＋2n－1，依次计算a2、a3、a4后，猜想an的表达式是( )
A．3n－2 B．n2
－
C．3n1 D．4n－3
a＋i
7．已知a是实数a等于( )
1－i
A．1 B．－1 2 D2
8．给出30个数：1,2,4,7， ，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，以此类推．要计算这30个数的和，现
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已给出了该问题算法的程序框图(如图所示)，则在图中判断框中①处和执行框中的②处应填的语句分别为(
)
A．①i＞30，②p＝p＋i B．①i＜30，②p＝p＋i C．①i≤30，②p＝p＋i D．①i≥30，②p＝p＋i
9．已知命题：平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(－p,0)和C(p,0)，顶点B在椭2
sinA＋sinC1xy2
圆＋＝1(m>n>0，pm－n)上，椭圆的离心率是e，则＝.试将该命题类mnsinBe比到双曲线中，给出一个真命题( )
sinA＋sinC1|sinA－sinC|＝ B.＝e
sinBesinBsinA＋sinC|sinA－sinC|1e D.
sinBsinBe
α∥β
10．设m、n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：① β
α∥γ
α⊥β
∥γ； ② m⊥β；
m∥α
m⊥α m∥n③ α⊥β； ④ m∥α. 其中正确的是( ) m∥βn α
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
11.
已知如图所示的程序框图(未完成)．设当箭头a指向①时，输出的结果为s＝m，当箭头
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a指向②时，输出的结果为s＝n，则m＋n＝( )
A．30 B．20 C．15 D．5 12．(2010·厦门华侨中学)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是(
)
A．B*D，A*D B．B*D，A*C C．B*C，A*D D．C*D，A*D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．(2010·江苏前黄高中)某同学准备用反证法证明如下问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，
1
且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0,1]都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|<，
2
那么它的假设应该是______________．
14．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点坐标分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，点P(0，p)为线段AO上的一点(异于端点)，这里a，b，c，p均为非零实数，
11
设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E、F，某同学已正确求得直线OE的方程：(－)x
bc
1111
＋(－)y＝0，请你完成直线OF的方程：(__________)x＋)y＝
0. papa
15．已知命题：若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m≠n，m、n∈N*)，则am＋nbn－am＝{bn}(bn>0，n∈N*)，bm＝a，bn＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比
n－m
上述结论，则可得到bm＋n＝__________.
16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”，如下图．
设第n个图有an个树枝，则an＋1与an(n≥2)之间的关系是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
ππ
17．(本小题满分10分)若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2
23
π
－2x＋求证：a，b，c中至少有一个大于0.
6
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18．(1)根据程序框图编写计算程序并说明程序的运算功能；
(2)求当a＝98，b＝63时，该程序结束的结果．
19．(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，
12
a1＋a2＝1，求证：a1＋a22≥. 2
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11
20．(本小题满分12分)(1)证明：当a>1时，不等式a3＋>a2＋成立；
aa
11
(2)要使上述不等式a3＋>a2＋成立，能否将条件“a>1”适当放宽？若能，请放宽条件
aa
并简述理由；若不能，也请说明理由；
(3)请你依据(1)、(2)的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，并给予证明．
3
21．(本小题满分12分)数列{an}中，a1an＋1＝a2n－an＋1. 2
111
(1)求证：
anan－1an＋1－11111
(2)设Sn＝＋n>2，证明：Sn<2.
a1a2a3an
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