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27.4正多边形和圆
一．选择题（共8小题）
1．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）
A．10 B．8 C．6 D．5
2．圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（）
A．12B．6C．12 D．6
3．如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）
A ．B．2C ．D．3
4．半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（）
A．8cm B．4cm C．8cm D．4cm
5．正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．正六边形的边长等于2，则这个正六边形的面积等于（）
A．4 B．6C．7D．8
7．⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（）
A．3 B．2C．3D．6
8．同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
二．填空题（共6小题）
9．正六边形的中心角等于_________度．
10．正n边形的边长与半径的夹角为75°，那么n=_________．
11．已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为_________cm．
12．如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为_________ cm2．（结果保留π）
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13．半径为1的圆内接正三角形的边心距为 _________ ．
14．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为4，则阴影部分的面积等于 _________ ．
三．解答题（共6小题）
15．如图，正五边形ABCD 中，点F 、G 分别是BC 、CD 的中点，AF 与BG 相交于H ．
（1）求证：△ABF ≌△BCG ；
（2）求∠AHG 的度数．
16．如图，正六边形ABCDEF 中，点M 在AB 边上，∠FMH=120°，MH 与六边形外角的平分线BQ 交于点H ．
（1）当点M 不与点A 、B 重合时，求证：∠AFM=∠BMH ．
（2）当点M 在正六边形ABCDEF 一边AB 上运动（点M 不与点B 重合）时，猜想FM 与MH 的数量关系，并对猜想的结果加以证明．
17．如图，分别求出半径为R 的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积．
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18．正六边形的边长为8，则阴影部分的面积是多少？
19．如图，把一根圆柱形的木头锯成正方体形的柱子，使截面正方形的四个顶点均在圆上．
（1）正方形的对角线与圆的直径有什么关系？
（2）设圆O 的半径为2，求圆中阴影部分的面积之和．
20．如图，某圆形场地内有一个内接于⊙O 的正方形中心场地，若⊙O 的半径为10米，求图中所画的一块草地的面积．（计算结果保留π）
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27.4正多边形和圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（）
A．10 B．8 C．6 D． 5
考点：正多边形和圆．
分析：设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值即可．
解答：解：设这个正多边形的边数是n，
∵正多边形的中心角是36°，
∴=36°，解得n=10．
故选A．
点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角是解答此题的关键．
2．圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（）
A．12B．6C．12 D． 6
考点：正多边形和圆．
分析：根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可．
解答：解：∵圆内接正六边形的周长为24，
∴圆内接正六边形的边长为4，
∴圆的半径为4，
如图，
连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB?cos30°=4×=2，
∴BC=2BD=4；
∴该圆的内接正三角形的周长为12，
故选A．
点评：本题考查了正多边形和圆，以及圆内接正三角形及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．
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最新精品资料，推荐下载！ 5 3．如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC 的顶点都在格点上，则△ABC 的面积是（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ． 3
考点： 正多边形和圆．
分析： 延长AB ，然后作出过点C 与格点所在的直线，一定交于格点E ，根据S △ABC =S △AEC ﹣S △BEC 即可求解．
解答： 解：延长AB ，然后作出过点C 与格点所在的直线，一定交于格点E ．
正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4， 中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是：
，则△BCE 的边EC 上的高是：， △ACE 边EC 上的高是：，
则S △ABC =S △AEC ﹣S △BEC =×4×（﹣）=2． 故选：B ．
点评：
本题考查了正多边形的计算，正确理解S △ABC =S △AEC ﹣S △BEC 是关键．
4．半径为8cm 的圆的内接正三角形的边长为（ ）
A ．
8cm B ．4cm C ．8cm D ． 4cm
考点： 正多边形和圆．
分析： 欲求△ABC 的边长，把△ABC 中BC 边当弦，作BC 的垂线，在Rt △BOD 中，求BD 的长；根据垂径定理知：BC=2BD ，从而求正三角形的边长．
解答： 解：如图所示：
∵半径为8cm 的圆的内接正三角形，
∴在Rt △BOD 中，OB=8cm ，∠OBD=30°， ∴BD=cos30°×OB=×8=4（cm ），
∵BD=CD ，
∴BC=2BD=8cm ．
故它的内接正三角形的边长为8
cm ．
故选：A ．
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6
点评： 本题主要考查了正多边形和圆，根据正三角形的性质得出，∠OBD=30°是解题关键．
5．正六边形内切圆面积与外接圆面积之比为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点： 正多边形和圆．
分析： 作出正三角形的边心距，连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形．解直角三角形即可．
解答： 解：正六边形可以分六个全等等边三角形，则这样的等边三角形的一边上的高为原正六边形的内切圆的半径；
因为等边三角形的边长为正六边形的外接圆的半径，
所以内切圆面积与外接圆面积之比=（sin60°）2=．
故选：D ．
点评：
本题考查了正多边形和圆，利用正六边形可以分六个全等等边三角形进而得出是解
题关键．
6．正六边形的边长等于2，则这个正六边形的面积等于（ ）
A ．
4 B ．6 C ．7 D ． 8
考点： 正多边形和圆．
分析： 边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，计算出正六边形的面积即可．
解答： 解：连接正六变形的中心O 和两个顶点D 、E ，得到△ODE ， ∵∠DOE=360°×=60°，
又∵OD=OE ，
∴∠ODE=∠OED=（180°﹣60°）÷2=60°，
则△ODE 为正三角形，
∴OD=OE=DE=2，
∴S △ODE =OD ?OM=OD ?OE ?sin60°=×2×2×=．
正六边形的面积为6×=6，
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点评： 本题考查了正多边形的计算，理解正六边形倍半径分成六个全等的等边三角形是关键，此题难度不大．
7．⊙O 的半径等于3，则⊙O 的内接正方形的边长等于（ ）
A ． 3
B ．2
C 3
D ． 6
考点： 正多边形和圆．
分析： 根据正方形与圆的性质得出AB=BC ，以及AB 2+BC 2=AC 2
，进而得出正方形的边长即可．
解答： 解：如图所示：⊙O 的半径为3，
∵四边形ABCD 是正方形，∠B=90°，
∴AC 是⊙O 的直径，
∴AC=2×3=6，
∵AB 2+BC 2=AC 2，AB=BC ，
∴AB 2+BC 2=36，
解得：AB=3，
即⊙O 的内接正方形的边长等于3，
故选C ．
点评： 此题主要考查了正方形与它的外接圆的性质，根据已知得出AB 2+BC 2=AC 2是解题
关键，此题难度一般．
8．同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点： 正多边形和圆．
分析： 根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可． 解答： 解：设圆的半径为R ，
如图（一），连接OB ，过O 作OD ⊥BC 于D ，
则∠OBC=30°，BD=OB ?cos30°=R ，
故BC=2BD=R ；
如图（二），连接OB 、OC ，过O 作OE ⊥BC 于E ，
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最新精品资料，推荐下载！ 8 则△OBE 是等腰直角三角形，
2BE 2=OB 2，即BE=R ，
故BC=R ； 故圆内接正三角形、正方形的边长之比为
R ：R=：=：2．
故选：A ．
点评： 本题考查的是圆内接正三角形、正方形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．
二．填空题（共6小题）
9．正六边形的中心角等于 60 度．
考点： 正多边形和圆．
分析： 根据正六边形的六条边都相等即可得出结论．
解答： 解：∵正六边形的六条边都相等，
∴正六边形的中心角==60°．
故答案为：60．
点评： 本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键．
10．正n 边形的边长与半径的夹角为75°，那么n= 12 ．
考点： 正多边形和圆．
分析： 先根据正n 边形的边长与半径的夹角为75°求出一个内角的度数，再根据正多边形的各角都相等可列出关于n 的方程，求出n 的值即可．
解答： 解：∵正n 边形的边长与半径的夹角为75°，
∴一个内角的度数=150°，即=150°．解得n=12．
故答案为：12．
点评： 本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键．
11．已知正六边形的半径为2cm ，那么这个正六边形的边心距为
cm ．
考点： 正多边形和圆．
分析： 根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．
解答： 解：如图，连接OA 、OB ；过点O 作OG ⊥AB 于点G ．
在Rt △AOG 中，
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∴OG=OA ?cos 30°=2×=（cm ）． 故答案为：．
点评：
本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的
关键．
12如图，⊙O 的半径为1cm ，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则图中阴影部分面积为
cm 2
．（结果保留π）
考点： 正多边形和圆．
专题： 计算题．
分析： 根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．
解答： 解：如图所示：连接BO ，CO ，
∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，
∴AB=BC=CO=1，∠ABC=120°，△OBC 是等边三角形，
∴CO ∥AB ，
在△COW 和△ABW 中
，
∴△COW ≌△ABW （AAS ），
∴图中阴影部分面积为：S 扇形OBC =
=． 故答案为：．
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10 点评：
此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S 扇形OBC 是解
题关键．
13．半径为1的圆内接正三角形的边心距为
．
考点： 正多边形和圆．
专题： 几何图形问题．
分析： 作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距．
解答： 解：如图，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，OB=1，OD ⊥BC ．
∵等边三角形的内心和外心重合，
∴OB 平分∠ABC ，则∠OBD=30°；
∵OD ⊥BC ，OB=1，
∴OD=． 故答案为：．
点评： 考查了等边三角形的性质．注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径．
14．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为4，则阴影部分的面积等于
π ．
考点： 正多边形和圆；扇形面积的计算．
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专题：压轴题．
分析：先正确作辅助线，构造扇形和等边三角形、直角三角形，分别求出两个弓形的面积和两个三角形面积，即可求出阴影部分的面积．
解答：解：连接OC、OD、OE，OC交BD于M，OE交DF于N，过O作OZ⊥CD于Z，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC=CD=DE=EF，∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，
由垂径定理得：OC⊥BD，OE⊥DF，BM=DM，FN=DN，
∵在Rt△BMO中，OB=4，∠BOM=60°，
∴BM=OB×sin60°=2，OM=OB?cos60°=2，
∴BD=2BM=4，
∴△BDO 的面积是×BD×OM=×4×2=4，
同理△FDO的面积是4；
∵∠COD=60°，OC=OD=4，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD=∠ODC=60°，
在Rt△CZO中，OC=4，OZ=OC×sin60°=2，
∴S扇形OCD﹣S△COD =﹣×4×2=π﹣4，
∴阴影部分的面积是：4+4+π﹣4+π﹣4=π，
故答案为：π．
点评：本题考查了正多边形与圆及扇形的面积的计算的应用，解题的关键是求出两个弓形和两个三角形面积，题目比较好，难度适中．
三．解答题（共6小题）
15．如图，正五边形ABCD中，点F、G分别是BC、CD的中点，AF与BG相交于H．
（1）求证：△ABF≌△BCG；
（2）求∠AHG的度数．
考点：正多边形和圆；全等三角形的判定与性质．
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专题：综合题．
分析：（1）利用正五边形的相等的角和相等的边得到证明全等三角形的条件后证明全等即可；
（2）将∠AHG的度数转化为正五边形的内角的度数求解．
解答：（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD，（2分）
∵F、G分别是BC、CD的中点，
∴BF=CG，（4分）
在△ABF和BCG中，
AB=BC，∠ABC=∠BCD，BF=CG，（5分）
∴△ABF≌△BCG；（6分）
（2）解：由（1）知∠GBC=∠FAB，
∵∠AHG=∠FAB+∠ABH=∠GBC+∠ABH=∠ABC（，7分）
∵正五边形的内角为108°，
∴∠AHG=108°．（9分）
（注：本小题直接正确写出∠AHG=108°不扣分）
点评：本题考查了正多边形的计算及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地利用正五边形中相等的元素．
16．如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH=120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．
（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH．
（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．
考点：正多边形和圆；全等三角形的判定与性质．
专题：探究型．
分析：（1）先有正多边形的内角和定理得出六边形ABCDEF内角的度数，再根据
∠FMH=120°，A、M、B在一条直线上，再根据三角形内角和定理即可得出结论；
（2）①当点M与点A重合时，∠FMB=120°，MB与BQ的交点H与点B重合，故可直接得出结论；
②当点M与点A不重合时，连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MG，由全等三角形的判定定理可得出△MBH≌△MBG，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
解答：（1）证明：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴每个内角均为120°．
∵∠FMH=120°，A、M、B在一条直线上，
∴∠AFM+∠FMA=∠FMA+∠BMH=60°，
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精品学习资料∴∠AFM=∠BMH．
（2）解：猜想：FM=MH．
证明：①当点M与点A重合时，∠FMB=120°，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM=MH．②当点M与点A不重合时，
证法一：如图1，连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MG．
∵∠BAF=120°，AF=AB，
∴∠ABF=30°，
∴∠ABG=180°﹣30°=150°．
∵MH与六边形外角的平分线BQ交于点H，
∴∠CBQ=×60°=30°，
∴∠MBH=∠ABC+∠CBQ=120°+30°=150°，
∴∠MBH=∠MBG=150°．
∵，
∴△MBH≌△MBG，
∴∠MHB=∠MGB，MH=MG，
∵∠AFM=∠BMH，∠HMB+∠MHB=30°，
∴∠AFM+∠MGB=30°，
∵∠AFM+∠MFB=30°，
∴∠MFB=∠MGB．
∴FM=MG=MH．
证法二：如图2，在AF上截取FP=MB，连接PM．
∵AF=AB，FP=MB，
∴PA=AM
∵∠A=120°，
∴∠APM=×（180°﹣120°）=30°，
有∠FPM=150°，
∵BQ平分∠CBN，
∴∠MBQ=120°+30°=150°，
∴∠FPM=∠MBH，
由（1）知∠PFM=∠HMB，
∴△FPM≌△MBH．
∴FM=MH．
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14
点评： 本题考查的是正多边形和圆，涉及到正多边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，涉及面较广，难度较大．
17．如图，分别求出半径为R 的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积．
考点： 正多边形和圆．
分析： 如图1，连接OB 、OC ，过O 作OD ⊥AB 于D ，求出中心角AOB ，解直角三角形求出AD 和OD ，根据垂径定理求出AB ，即可得出答案；连接OA 、OB 、OC ，求出中心角COD ，根据勾股定理求出CD ，即可得出答案．
解答： 解：如图1，连接OB 、OC ，过O 作OD ⊥AB 于D ，
∵⊙O 是正三角形ABC 的外接圆，
∴∠AOB==120°，
∵OA=OB ，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
在Rt △ADO 中，AO=R ，AD=R ×sin60°=
R ，OD=Rcos60°=R ，
∵OD ⊥AB ，
∴AB=2AD=R ，
∴正△ABC 的周长是3AB=3R ；面积是3×AB ×OD=3××R ×R=R 2； 如图2，连接OA 、OB 、OD ，
∵⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，
∴∠COD==90°，
∵OD=OC=R ，由勾股定理得；CD==R ，
∴正方形ABCD 的周长为4×R=4R ，面积为
R ×R=2R 2．
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15
点评： 本题考查了正多边形和圆，解直角三角形，正多边形的性质的应用，解此题的关键是求出正多边形的边长，主要考查学生的计算能力，难度适中．
18．正六边形的边长为8，则阴影部分的面积是多少？
考点： 正多边形和圆．
分析： 如图，作辅助线；首先证明△OAB 、△OAC 均为等边三角形，得到
∠BAO=∠CAO=60°，借助扇形的面积公式和三角形的面积公式即可解决问题．
解答： 解：如图，连接OA 、OB 、OC ；
由题意知：∠BOA=∠COA=
=60°， ∵OA=OB=OC ，
∴△OAB 、△OAC 均为等边三角形，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
=；
=32，
∴阴影部分的面积=3×=64π﹣96
．
点评： 该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用正多边形和圆的性质来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．
19．如图，把一根圆柱形的木头锯成正方体形的柱子，使截面正方形的四个顶点均在圆上．
（1）正方形的对角线与圆的直径有什么关系？
（2）设圆O 的半径为2，求圆中阴影部分的面积之和．
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16
考点：
正多边形和圆． 分析： （1）直接根据圆周角定理即可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出AD 的长，再根据S 阴影=S ⊙O ﹣S 正方形ABCD 即可得出结论．
解答： 解：（1）连接AC ，
∵∠D=90°，点D 在⊙O 上，
∴正方形的对角线是圆的直径；
（2）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=CD ．
∵圆O 的半径为2，
∴2AD 2=AC 2，即2AD 2=42
，解得AD=2，
∴S 阴影=S ⊙O ﹣S 正方形ABCD =π×22﹣（2）2=4π﹣8．
点评：
本题考查的是正多边形和圆，熟知正方形的性质是解答此题的关键．
20．如图，某圆形场地内有一个内接于⊙O 的正方形中心场地，若⊙O 的半径为10米，求图中所画的一块草地的面积．（计算结果保留π）
考点： 正多边形和圆．
专题： 计算题．
分析： 连接AC ，可得AC 为直径，根据勾股定理可求出AB 的长，而阴影部分的面积为圆面积减去正方形面积的四分之一．
解答： 解：连AC ，则AC 为直径，即AC=20，
∵正方形ABCD 中，
AB=BC ，∠B=90°，
∴在Rt △ABC 中，
AB 2+BC 2=AC 2，
2AB 2=202，
∴AB 2=200，
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17 ==（25π﹣50）米2
． 点评： 本题考查了正多边形和圆，注：90°的圆周角所对的弦是直径．
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