19.2平行四边形
第2课时 平行四边形的对角线的性质
教学目标
1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质；(重点)
2．利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题．
教学过程
一、情境导入
如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高为4，你能算出图中阴影部分的面积吗？
二、合作探究
探究点一：平行四边形的对角线互相平分
【类型一】 利用平行四边形对角线互相平分求线段长
已知：?ABCD 的周长为60 cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△DOA 的周长长5 cm ，求这个平行四边形各边的长．
解析：平行四边形周长为60 cm ，即相邻两边之和为30cm ，△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，而AO 为共用，OB ＝OD ，所以由题意可知AB 比AD 长5cm ，进一步解答即可．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，AB ＝CD ，AD ＝BC .∵△AOB 的周长比△DOA 的周长长5 cm ，∴AB －AD ＝5cm.又∵?ABCD 的周长为60 cm ，∴AB ＋AD ＝30 cm ，
则AB ＝CD ＝352 cm ，AD ＝BC ＝252
cm. 方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
【类型二】 利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等
如图，?ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F .求证：OE ＝OF .
解析：根据平行四边形的性质得出OD ＝OB ，DC ∥AB ，推出∠FDO ＝∠EBO ，证出△DFO ≌△BEO 即可．
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD ＝OB ，DC ∥AB ，∴∠FDO ＝∠EBO .在△
DFO 和△BEO 中，?????∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∠FOD ＝∠EOB ，
∴△DFO ≌△BEO (ASA )，∴OE ＝OF .
方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．
【类型三】 判断直线的位置关系
如图平行四边形ABCD 中，AC 、BD 交于O 点，点E 、F 分别是AO 、CO 的中点，试判断线段BE 、DF 的关系并证明你的结论．
解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA ＝OC ，OB ＝OD ，利用中点的意义得出OE ＝OF ，再利用三角形全等得对应边、角相等，最后根据平行线判定得出BE ＝DF ，BE ∥DF .
解：BE ＝DF ，BE ∥DF .理由如下：
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵E ，F 分别是OA ，OC 的中点，∴
OE ＝OF .在△EOB 和△FOD 中???OE ＝OF ，
∠DOF ＝∠BOE ，OB ＝OD ，
∴△EOB ≌△FOD ，
∴BE ＝DF ，∠FDB ＝∠EBD ，∴BE ∥DF .∴BE ＝DF ，BE ∥DF .
方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题．
探究点二：平行四边形的面积
在?ABCD 中，
(1)如图①，O 为对角线BD 、AC 的交点．求证：S △ABO ＝S △CBO ；
(2)如图②，设P 为对角线BD 上任一点(点P 与点B 、D 不重合)，S △ABP 与S △CBP 仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
解析：根据平行四边形的对角线互相平分可得AO ＝CO ，再根据等底等高的三角形的面积相等解答．
(1)证明：在?ABCD 中，AO ＝CO ，设点B 到AC 的距离为h ，则S △ABO ＝12
AO ·h ，S △CBO ＝12
CO ·h ，∴S △ABO ＝S △CBO ； (2)解：仍然相等．证明如下：连接AC 交BD 于点O .在?ABCD 中，AO ＝OC ，由(1)可得S △ABO ＝S △BCO ，S △APO ＝S △CPO ，∴S △ABO －S △APO ＝S △BCO －S △CPO ，∴S △ABP ＝S △CBP .
方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．
三、板书设计
教学反思
本节课是在学习了平行四边形的边角性质之后的内容，与前面章节的知识联系紧密．课堂上要加强解题步骤严密性和规范性的训练，在观察、操作、推理、归纳等过程中，培养学生数学说理的习惯，发展学生的数学思维能力.
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